（1）设ax-1=t则x=

t+1

a

，

由于f(ax-1)=lg

x+2

x-3

(a≠0)，

∴f(t)=lg

t+1 a +2

t+1 a -3

=lg

t+1+2a

t+1-3a

，

从而f(x)=lg

x+1+2a

x+1-3a

（4分）

（2）a＞0时，

x+1+2a

x+1-3a

＞0⇒x∈（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞），

即函数的定义域为（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞），

a＜0时，

x+1+2a

x+1-3a

＞0⇒x∈（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）． 

即定义域为（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）．    （8分）

（3）当定义域关于原点对称时a=2，此时f(x)=lg

x+5

x-5

（10分）

∵f(-x)=lg

x-5

x+5

=-f(x)，∴f（x）为奇函数，（13分）

当a≠0且a≠2时，f（x）的定义域不关于原点对称，

故f（x）为非奇非偶函数．                             （15分）