问题
解答题
已知定义域为R的函数f（x）=
（1）求a，b的值，并判断f（x）的单调性； （2）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围． |
答案
（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，b=1．
又f（-1）=-f（1），得a=-1．
经检验a=-1，b=1符合题意．
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
-1-2x1 2x1+1
=1-2x2 2x2+1
．2(2x2-2x1) (2x1+1)(2x2+1)
∵x1＜x2，∴2x2-2x1＞0，又（2x1+1）（2x2+1）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）为R上的减函数．
（2）因为不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，
所以f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
因为f（x）为奇函数，所以f（t2-2t）＜f（k-2t2），
又f（x）为减函数，所以t2-2t＞k-2t2，即k＜3t2-2t恒成立，
而3t2-2t=3(t-
)2-1 3
≥-1 3
，1 3
所以k＜-
．1 3