（1）∵函数f（x）=ax+

1

x+b

（a≠0）的图象过点（0，-1）

∴f（0）=-1得b=-1

所以f（x）=ax+

1

x+1

，（2分）

∵f（x）的图象与直线y=-1有且只有一个公共点

∴-1=ax+

1

x+1

只有一解即x[ax+（a-1）]=0只有一解∴a=1

∴f（x）=x+

1

x-1

（4分）

（2）证明：已知函数y₁=x，y₂=

1

x

都是奇函数．

所以函数g（x）=x+

1

x

也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．

而f（x）=x-1+

1

x-1

+1

可知，函数g（x）的图象向右、向上各平移1个单位，即得到函数f（x）的图象，

故函数f（x）的图象是以点Q（1，1）为中心的中心对称图形．（9分）

（3）证明：∵P点(x0，x0+

1

x0-1

)

过P作PA⊥x轴交直线y=1于A点，交直线y=x于点B，

则QA=PN=AB=x₀-1，QB=

2

(x0-1)．

PA=y_P-1=x₀-1+

1

x0-1

，∴PB=PA-AB=

1

x 0-1

，

∴PM=BM=

2

2

PB=

1

2 (x0-1)

．

∴PM•PN=

1

2 (x0-1)

．（x₀-1）=

2

2

为定值．（13分）

连QP；∵QM=QB+BM=

2

(x0-1)+

1

2 (x0-1)

，

∴S_△QMP=

1

2

QM×PM=

1

2

×

[

2

(x0-1)+

1

2 (x0-1)

].

1

2 (x0-1)

=

1

2

+

1

4(x0-1)2

又S_△QNP=

1

2

NP×PA=

1

2

（x₀-1）．（x₀-1+

1

x0-1

）=

1

2

(x0-1)2+

1

2

∴S_QMPN=

1

2

(x0-1)2+

1

2

+

1

2

+

1

4(x0-1)2

=

1

2

(x0-1)2+

1

4(x0-1)2

+1（16分）