已知数列a1，a2，a3，…，a30，其中a1，a2，a3，…，a10是首项为1

问题解答题

已知数列 a₁，a₂，a₃，…，a₃₀，其中a₁，a₂，a₃，…，a₁₀是首项为1，公差为1的等差数列；a₁₀，a₁₁，a₁₂，…，a₂₀是公差为 d的等差数列；a₂₀，a₂₁，a₂₂，…，a₃₀是公差为 d²的等差数列（d≠0）．

（1）若 a₂₀=40，求 d；

（2）试写出 a₃₀关于 d的关系式；

（3）续写已知数列，使得 a₃₀，a₃₁，a₃₂，…，a₄₀是公差为 d³的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题，并进行研究，你能得到什么样的结论？

答案

（1）a₁，a₂，a₃，…，a₁₀首项为1，公差为1

∴a₁₀=1+9×1=10a₁₀，a₁₁，a₁₂，…，a₂₀首项为a₁₀，公差为d

∴a₂₀=a₁₀+10d=10（1+d）

∵a₂₀=40∴10（1+d）=40∴d=3

（2）a₂₀，a₂₁，a₂₂，…，a₃₀首项为a₂₀，公差为d²

∴a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）

（3）a₃₀，a₃₁，a₃₂，…，a₄₀首项为a₃₀，公差为d³

∴a₄₀=a₃₀+10d³=10（1+d+d²+d³）

依此类推可得：a_10n=10（1+d+d²+…+d^n-1），n∈N^*

∵d≠0∴当 d=1时，a_10n=10（1+d+d²+…+d^n-1）=10n

当 d≠1时，a_10n=10（1+d+d²+…+d^n-1）=10 ×

1-dn

1-d

10(1-dn)

1-d

综上得结论：a10n=

10n (d=1)

10(1-dn)

1-d

(d≠1且d≠0)