问题
解答题
已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.
答案
(1)令x=0,则∵f(x+1)-f(x)=2x,
∴f(1)-f(0)=0,
∴f(1)=f(0)
∵f(0)=1
∴f(1)=1,
∴二次函数图象的对称轴为x=
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∴可令二次函数的解析式为f(x)=y=a(x-
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2 |
令x=-1,则∵f(x+1)-f(x)=2x,
∴f(0)-f(-1)=-2
∵f(0)=1
∴f(-1)=3,
∴
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∴a=1,h=
3 |
4 |
∴二次函数的解析式为y=f(x)=(x-
1 |
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3 |
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(2)∵在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方
∴x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立
∴x2-3x+1>m在[-1,1]上恒成立
令g(x)=x2-3x+1,则g(x)=(x-
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5 |
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∴g(x)=x2-3x+1在[-1,1]上单调递减
∴g(x)min=g(1)=-1,
∴m<-1