问题
解答题
已知双曲线
（1）求双曲线的方程； （2）设过点F且不垂直于x轴的直线l与双曲线分别交于点P、Q，请问：是否存在直线l，使△APQ构成以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）由题意得A（-a，0），F（c，0），BC⊥x轴，
∴B(c，
)，C(c，-b2 a
)．…（2分）b2 a
∴c=2a…（3分）
又|BC|=6，
∴
=6…（4分）2b2 a
∴a2=1，b2=3，
∴所求双曲线的方程为x2-
=1．…（6分）y2 3
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2）．
由
，y=k(x-2) x2-
=1y2 3
得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0．…（7分）
∵l与双曲线有两个交点，故k2-3≠0．
∴
…（8分）x1+x2= 4k2 k2-3 x1x2= 4k2+3 k2-3
要使△APQ成等腰直角三角形，
则需AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|
由AP⊥AQ，
得（x1+1）（x2+1）+y1y2=0…（10分）
即(1+k2)
+(1-2k2)4k2+3 k2-3
+1+4k2=0，4k2 k2-3
对k∈R，且k≠±
恒成立 （12分）3
由|AP|=|AQ|得
(x1+1)2+y12=(x2+1)2+y22 ∴x1+x2+2=-k2(x1+x2-4)∴(1+k2)
=4k2-24k2 k2-3
解得k2=
即k=±1 3
…（14分）3 3
综上所述，所求直线存在，其方程为y=±
(x-2)（15分）3 3