问题
问答题
设有三维列向量
问λ取何值时，
(1) β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一；
(2) β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一；
(3) β不能由α1，α2，α3线性表示．
答案
参考答案：设x1α1+x2α2+x3α3=β，得线性方程组
[*]
其系数行列式
[*]
(1) 若λ≠0且λ≠-3，则方程组有唯一解，β可由α1，α2，α3唯一地线性表示．
(2) 若λ=0，则方程组有无穷多个解，β可由α1，α2，α3线性表示，但表达式不唯一．
(3) 若λ=-3，则方程组的增广矩阵
[*]
可见方程组的系数矩阵A与增广矩阵[*]不等秩，故方程组无解，从而β不能由α1，α1，α3线性表示．
解析：[评注] 向量间的线性关系(线性表示，线性相关、线性无关)与相应的方程组的解的情况之间的关系，提供了利用方程组解的结论判定向量间的线性关系问题的一种重要方法．反之，也可利用向量间的线性关系的性质与结论讨论方程组的解的问题．这种不同问题之间的相互关联也是线性代数知识结构的主要特点．
[考点提示] 将讨论一个向量能否由一组向量线性表示的问题转化为讨论一个非齐次线性方程组解的存在性及唯一性问题．