问题
问答题
已知三元二次型
f(x1，x2，x3)=XTAX，
矩阵A的对角元素之和为3，且AB+B=0，其中
B=
用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换
答案
参考答案：令β=[α1，α2，α3]，αi为B的列向量，显然α1，α2线性无关，α3=α1+α2，因而r(B)=2，由AB=-B得到
A[α1，α2，α3]=-[α1，α2，α3]，
即Aα1=-α1，Aα2=-α2，Aα3=-α3．
因α1，α2线性无关，故属于特征值-1的有两个线性无关的特征向量，所以λ1=λ2=-1为二重特征值．又因A的主对角线上的元素之和为λ1+λ2+λ3=3，故另一特征值为λ3=5．
设属于λ3=5的特征向量为α=[x1，x2，x3]T，则
=0，
=0．
解
即
因
，
故α=[1，1，1]T．
对α1，α2进行施密特正交化得到
．
再将β1，β2，β3单位化，得到
．
令Q=[η1，η2，η3]，则Q为正交矩阵，且经正交变换X=QY后，二次型的标准形为
．