参考答案：由于矩阵A的列向量为s个n维向量，如果s＞n，则A的列向量组必线性相关，故存在X≠0，使AX=0，那么
X^TBX=(AX)^T(AX)=0，
与B正定相矛盾．
如果s=n，则因|A|是范德蒙行列式，
由

知A是可逆矩阵．由
B=A^TA=A^TEA，
即B与E相同，B是正定矩阵．
如果s＜n，则取A的前s行构成的列向量组，从范德蒙行列式知其线性无关，那么延伸为n维向量后仍线性无关，故对任意的X≠0必有AX≠0，那么
X^TBX=(Ax)^T(Ax)=|AX|²＞0，
B亦符合正定要求．可见B正定的充要条件是S≤N．

解析：[考点提示] 正定矩阵．