参考答案：

(1)由。当时，f’(x)的最大值为；令2a＞0，得。所以，当时，f(x)在上存在单调递增区间。

(2)令，得两根，所以f(x)在(-∞，x₁)，(x₂，+∞)上单调递减，在(x₁，x₂)上单调递增；当0＜a＜2时，有x₁＜1＜x₂＜4，所以f(x)在[1，4]上的最大值为f(x₂)；又，即f(4)＜f(1)。所以f(x)在[1，4]上的最小值为，得a=1，x₂=2，从而f(x)在[1，4]上的最大值为。