问题
问答题
设A为三阶实对称矩阵，λ1=8，λ2=λ3=2是其特征值．已知对应λ1=8的特征向量为α1=[1，k，1]T，对应λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=[-1，1，0]T．试求参数k及λ2-λ3=2的另一个特征向量和矩阵A．
答案
参考答案：因α1，α2是实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量，故有
=0，即
，
故有k=1，即α1=[1，1，1]T．
设λ2=λ3=2的属于A的另一特征向量为α3=[x1，x2，x3]T，则
=0．为保证α2，α3线性无关，可进一步要求
=0，这样有
由
，
得到基础解系为[-1/2，-1/2，1]T.
为方便计，取α3=[1，1，-2]T．
再由A[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]=[λ1α1，λ2α2，λ3α3]
得A=[λ1α1，λ2α2，λ3α3][α1，α2，α3]-1
=
．
解析： 利用实对称矩阵特征向量的性质求之．