参考答案：[解法一] 令f(x)=karctanx-x，则f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，且
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当k-1≤0即k≤1时，f(x)＜0(x≠0)，f(x)在(-∞，+∞)上单调减少，方程f(x)=0只有一个实根x=0．
[*]+∞)，使得f(ξ)=0．
由f(x)是奇函数及其单调性可知，当k＞1时，方程f(x)=0有且仅有三个不同的实根x=-ξ，x=0，X=ξ
[解法二] 令f(x)=karctanx-x，显然f(x)是奇函数，则其零点关于原点对称，f(0)=0，只要讨论f(x)在区间(0，+∞)上零点个数，为此，令
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显然，ψ(x)与f(x)在区间(0，+∞)上零点个数相同，
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令g(x)=(1+x²)arctanx-x，则
g’(x)=2xarctanx＞0 x∈(0，+∞)
g(0)=0
则ψ’(x)＞0 x∈(0，+∞) ψ(x)在(0，+∞)内单调增加，又
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则，若k≤1，ψ(x)在(0，+∞)上无零点，原方程有唯一实根x=0；
若k＞1，ψ(x)在(0，+∞)上有唯一零点，原方程有且仅有三个实根．