问题
问答题
设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量；
(Ⅱ)求矩阵B．
答案
参考答案：(Ⅰ)由Aα=λα有Anα=λnα．那么
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所以α1是矩阵B属于特征值μ1=-2的特征向量．
类似地，由Aα2=λ2α2，Aα3=λ3α3有
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因为α2，α3是矩阵A中不同特征值的特征向量，α2，α3是线性无关的，那么B关于μ=1有2个线性无关的特征向量．
由A是对称矩阵，知矩阵B是对称矩阵，设(x1，x2，x3)T是B关于μ=1的任一特征向量，那么由特征值不同特征向量相互正交，有x1-x2+x3=0，得基础解系β2=(1，1，0)T，β3=(-1，0，1)T．
所以矩阵B关于μ=-2的特征向量为k1(1，-1，1)T，k1是不为0的任意常数；矩阵B关于μ=1的特征向量为k2(1，1，0)T+k3(-1，0，1)T，k2，k3是不全为0的任意常数．
(Ⅱ)由Bα1=-2α1，Bβ2=β2，Bβ3=β3有
B(α1，β2，β3)=(-2α1，β2，β3)
那么B=(-2α1，β2，β3)(α1，β2，β3)-1
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