已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+ex是某二阶线性非齐次方程的三个特解，求该微

问题问答题

已知y₁=3，y₂=3+x²，y₃=3+e^x是某二阶线性非齐次方程的三个特解，求该微分方程及通解．

答案

参考答案：[解]y₂-y₁=x²，y₃-y₁=e^x为齐次方程的两个线性无关的特解，则求方程通解为y=C₁x²+C₂e^x+3．
y=C₁x²+C₂e^x+3 (1)
(1)式求导得 y’=2C₁x+C₂e^x (2)
再求导得 y"=2C₁+C₂e^x (3)
(3)-(2)得 y"-y’=2C₁(1-x) (4)
(1)-(2)得 y-y’=C₁(x²-2x)+3 (5)
联立(5)式和(4)式消去C₁得
(2x-x²)y"+(x²-2)y’+2(1-x)y=6(1-x)

解析：[评注] 本题给出了已知方程的通解求方程的一般方法，即利用y，y’及y"消去其中的任意常数C₁和C₂便可求得微分方程．