问题
问答题
已知函数f(x)在(-1，1)上有定义，
，当且仅当0＜x＜1时，f(x)＜0，且对任意x、y∈(-1，1)，都有
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)在(-1，1)上单调递减.
答案
参考答案：
证明：(1)先取x=y=0，则2f(0)=f(0)，所以f(0)=0，
再取y=-x，则有f(x)+f(-x)=f(0)=0，即f(-x)=-f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)任取-1＜x2＜x1＜1，则
因为-1＜x2＜x1＜1，
所以|x1|＜1，|x2|＜1，|x1x2|＜1，
所以x1x2＜1，即1-x1x2＞0，
又因为x1-x2＞0，
所以
x1-x2-(1-x1x2)=(x1-1)(x2+1)＜0，
所以x1-x2＜1-x1x2，即
所以
所以f(x1)＜f(x2)，即f(x)在(-1，1)上单调递减．