参考答案：有两种讨论方式．
方法1．从结论推上去，要证明存在ξ∈(0，1)使
f’(ξ)+f(ξ)=0，
即e^ξf’(ξ)+e^ξf(ξ)=0，即证明存在ξ∈(0，1)使
(e^ξf(ξ))’=0．
命F(x)= e^ξf(x)，要证存在ξ∈(0，1)使F’(ξ)=(e^ξf(x))’_x-ξ=0．为此，只要验证F(x)在0，1上满足罗尔定理即可．由于
[*]
即 F(0)=F(η)，0＜η＜1．
所以存在ξ∈(0，η)[*](0，1)使F’(ξ)=0，即
e^ξf’(ξ)+e^ξf(ξ)=0．
因e^ξ≠0，上式等价于f’(ξ)+f(ξ)=0证毕．
方法2．从条件往下推．由[*]及积分中值定理，存在[*]使f(0)=e^ηf(η)，即e⁰f(0)=e^ηf(η)．命F(x)=e^xf(x)，有F(0)=F(η)，由罗尔定理．存在ξ∈(0，η)[*](0，1)使[*]e^ξ(f’(ξ)+f(ξ))=0，即f’(ξ)+f(ξ)=0．证毕．