参考答案：方法一
齐次线性方程组α₁x₁+α₂x₂+…+α_i-1x_i-1+α_i+1x_i+1+…+α_sx_s=0只有零解
[*]r(α₁，α₂，…，α_i-1，α_i+1，…，α_s)=s-1(未知量个数)
[*]α₁，α₂，…，α_i-1，α_i+1，…，α_s线性无关．
设有数是k，k₂，…，k_i-1，k_i+1，…，k_s，使得
k₁α₁+k₂α₂+…+k_i-1α_i-1+k_i+1α_i+1+…+k_sα_s=0 (1)
将题设条件 α₂=α₁+2α₂+…+(s-1)α_s-1代入(1)，得
k₁α₁+k₂α₂+…+k_i-1α_i-1+k_s-1α_s-1k_s(α₁+2α₂+…+(s-1)α_s-1=0
即 (k₁+k_s)α₁+(k₂+2k_s)α₂+…+k_i-1+(i-1)k_sα_i-1+ik_sα_i+
Lk_i+1+(i+1)k_sα_i+1+…+k_s-1+(s-1)k_sα_s-1=0 (2)
由题设，α₁+α₂，…，α_s-1线性无关，
[*]
因i≠0，由ik_s=0，得k_s=0，从而有k₁=k₂=…=k_i-1=k_i+1=…=k_s-1=0．
得证：α₁，α₂，…，α_i-1+α_i+1，α_s线性无关，方程组(1)只有零解．
方法二：
[*]
因α₁，α₂，…，α_s-1线性无关，r(α₁，α₂，…，α_s-1)=s-1，|C|=i(-1)^i+s-1≠O，故r(α₁，α₂，…，α_i-1，α_i+1，…，α_s)=s-1，α₁，α₂，…，α_i-1，α_i+l，…，α_s，线性无关，故方程组(1)只有零解．
方法三：
证：由向量(Ⅰ)α₁，α_i-1，α_i+1，…α_s和α₁，α₂，…α_s(Ⅱ)可以相互表示，得(Ⅰ)线性无关，方程组(Ⅰ)只有零解。
(Ⅱ)方程组(2)的系数矩阵的秩为
r(α₁，α₂，…，α_s)=s-1．
故其通解的结构形式为kξ+η，．
其中对应齐次方程组的基础解系为ξ=1，2，…，s-1，-1^T，非齐次的一个特解为
η=1，2，…，s^T，
故方程组(2)的通解为
k1，2，…，s-1，-1^T+1，2，…，s^T．