问题
问答题
设A、B为三阶相似非零实矩阵，矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij为aij的代数余子式，矩阵B满足｜E+2B｜=｜E+3B｜=0，计算行列式｜A*B-A*+B-E｜．
答案
参考答案：
解析： ｜A*B-A*+B-E｜=｜A*(B-E)+(B-E)｜
=｜(A*+E)(B-E)｜=｜A*+E｜｜B-E｜．
由aij=Aij(i，j=1，2，3)，可知AT=A*，于是
AAT=AA*=｜A｜
｜AAT｜=｜A ｜3
｜A｜2=｜A｜3
｜A｜=0或｜A｜=1．
因为A≠0，不妨假定a11≠0，所以
又由题设可知，A，B相似，所以A，B有相同的特征值，且｜B｜=｜A｜=1．
由｜E+2B｜=｜E+3B｜=0可知B有特征值
设另外一个特征值为λ3，则有λ1λ2λ3=
所以A，B的特征值为
于是｜A*+E｜=｜AT+E｜=｜A+E｜
故｜A*B-A*+B-E｜=
