（1）∵函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠1}，

∴函数f（x）为非奇非偶函数，

又∵g(x)=f(2|x|)=1+

1

2|x|-1

，

∴函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}，

且g(-x)=1+

1

2|-x|-1

=1+

1

2|x|-1

=g(x)，

所以g（x）为偶函数．

（2）设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，

g(x1)-g(x2)=

1

2|x1|-1

-

1

2|x2|-1

=

2|x2|-2|x1|

(2|x1|-1)(2|x2|-1)

，

∵x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，

∴|x₁|＞|x₂|＞0

∴2|x1|＞2|x2|，2|x2|-2|x1|＜0，2|x1|-1＞0，2|x2|-1＞0

所以g（x₁）＜g（x₂），所以函数g&n的sp;（x）在（-∞，0）上为增函数．

（3）由（1）（2），知函数在（1，+∞）上单调递减，

∴g（x）＜g（1）=2，

∵不等式g(x)＜

m

m+1

在x∈（1，+∞）时恒成立，

∴

m

m+1

≥2，解口-2≤m＜-1．

所以m的取值范围是{m|-2≤m＜-1}．