问题
解答题
| 已知数列{a}满足an=2an-1+2n+2（n≥2，a1=2）， （1）求a2，a3，a4 （2）是否存在一个实数λ，使得数列{
（3）求数列{an}的前n项和，证明：Sn≥n3+n2． |
答案
（1）∵an=2an-1+2n+2（n≥2，a1=2），
∴a2=4+4+2=10，a3=20+8+2=30a4=60+16+2=78；
（2）假设存在一个实数λ，使得数列{
}成等差数列，则an+λ 2n
-an+λ 2n
=1+an-1+λ 2n-1
恒为常数2-λ 2n
∴2-λ=0，即λ=2
此时
=2，a1+2 2
-a2+2 2
=1a1+2 2
当λ=2时，数列{
}是首项为2、公差为1的等差数列an+λ 2n
（3）证明：由（2）得
=an+λ 2n
+(n-1)=n+1a1+2 2
∴an=(n+1)•2n-2
∴Sn=2•2+3•22+…+（n+1）•2n-2n
∴2Sn=2•22+3•23+…+（n+1）•2n+1-4n
两式相减得：
-Sn=2•2+22+23+…2n+（n+1）•2n+1+2n=-n•2n+1+2n
∴Sn=n•2n+1-2n
当n=1或2时，有Sn=n3+n2；
当n≥3时，Sn=n•2n+1-2n=2n[（1+1）n-1]≥2n[1+n+
]=n3+n2．n(n-1) 2