问题
解答题
数列{an}满足a1=1，an+1=
（Ⅰ）证明：数列{
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an； （Ⅲ）设bn=
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答案
（Ⅰ）由已知可知
=an+1 2n+1
，即an an+2n
=2n+1 an+1
+1，即2n an
-2n+1 an+1
=12n an
∴数列{
}是公差为1的等差数列．2n an
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
=2n an
+(n-1)×1=2+(n-1)×1=n+1，∴an=2 a1
．2n n+1
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=
an=1 n•2n+1
×1 n•2n+1 2n n+1
∴bn=
=1 2n(n+1)
(1 2
-1 n
)1 n+1
∴Sn=b1+b2+…+bn=
(1-1 2
)+1 2
(1 2
-1 2
)+…+1 3
(1 2 1 n
)=1 n+1
[(1-1 2
)+(1 2
-1 2
)+…+(1 3
-1 n
)]=1 n+1
．n 2(n+1)