问题
解答题
已知函数f（x）=x2+bx+c，g（x）=2x+b，对任意的x∈R，恒有g（x）≤f（x）．
（1）证明：c≥1；
（2）若b＞0，不等式m（c2-b2）≥f（c）-f（b）恒成立，求m的取值范围．
答案
（1）证明，由已知，对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+（b-2）x+（c-b）≥0恒成立，
所以△=（b-2）2-4（c-b）≤0，c≥
≥1b2+4 4
（2）c≥
≥2b2+4 4
=b，
×1b2 4
①当c=b时，c2-b2=0，f（c）-f（b）=0，m∈R
②当c＞b时，有m≥
=f(c)-f(b)= c2-b2
=c2-b2+bc-b2 c2-b2
，令t=c+2b b+c
，则0＜t＜1b c
=c+2b b+c
=1+2• b c
+1b c
=2-1+2t t+1
，而函数h（t）=2-1 1+t
（0＜t＜1）是增函数，1 1+t
所以函数h（t）的值域为（1，
），则m的取值范围是[3 2
，+∞）3 2
综上所述，m的取值范围是[
，+∞）．3 2