问题
问答题
如图，有一列曲线P0，P1，P2……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形。再将中间部分的线段去掉(k=0，1，2，……)．记Sn为曲线Pn所围成图形的面积。
求数列{Sn}的通项公式；
答案
参考答案：
对P0进行操作，容易看出P0的每条边变成P1的4条边，故P1的边数为3×4；同样，对P1进行操作，P1的每条边变成P2的4条边，故P2的边数为3×42，从而不难得到Pn的边数为3×4n。
已知P0的面积为S0=1，比较P1与P0，容易看出P1在P0的每条边上增加一个小等边三角形，其面积为
，而P0有3条边，故
再比较P2与P1，可知P2在P1的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为
而P1有3×4条边，故
类似地有
于是有
下面利用数学归纳法证明(*)式。
n=1时，由上面已知(*)式成立。
假设n=k时，有
，当n=k+1时，易知第k+1次操作后，比较Pk+1与Pk，Pk+1在Pk的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为
，而Pk有3×4k条边，故Sk+1=
综上，由数学归纳法，(*)式得证。