问题 解答题
已知函数f(x)=
lnx
x

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间及其极值;
(Ⅱ)证明:对一切x∈(0,+∞),都有x(x-1)2ex+
x
e
>lnx
成立.
答案

(Ⅰ)f′(x)=

1-lnx
x2
=0,解得x=e,

又x∈(0,+∞),

当x>e时,f′(x)<0,函数为减函数;当0<x<e时,f′(x)>0,函数为增函数.

所以f(x)的极大值为f(e)=

lne
e
=
1
e

(Ⅱ)证明:对一切x∈(0,+∞),

都有x(x-1)2ex+

x
e
>lnx成立则有(x-1)2ex+
1
e
lnx
x

由(Ⅰ)知,f(x)的最大值为f(e)=

1
e

并且(x-1)2ex+

1
e
1
e
成立,当且仅当x=1时成立,

函数(x-1)2ex+

1
e
的最小值大于等于函数f(x)=
lnx
x
的最大值,

但等号不能同时成立.

所以,对一切x∈(0,+∞),都有x(x-1)2ex+

x
e
>lnx成立.

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