问题
解答题
已知函数f(x)=
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间及其极值; (Ⅱ)证明:对一切x∈(0,+∞),都有x(x-1)2ex+
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答案
(Ⅰ)f′(x)=
=0,解得x=e,1-lnx x2
又x∈(0,+∞),
当x>e时,f′(x)<0,函数为减函数;当0<x<e时,f′(x)>0,函数为增函数.
所以f(x)的极大值为f(e)=
=lne e
;1 e
(Ⅱ)证明:对一切x∈(0,+∞),
都有x(x-1)2ex+
>lnx成立则有(x-1)2ex+x e
>1 e
,lnx x
由(Ⅰ)知,f(x)的最大值为f(e)=
,1 e
并且(x-1)2ex+
≥1 e
成立,当且仅当x=1时成立,1 e
函数(x-1)2ex+
的最小值大于等于函数f(x)=1 e
的最大值,lnx x
但等号不能同时成立.
所以,对一切x∈(0,+∞),都有x(x-1)2ex+
>lnx成立.x e