问题 解答题

若函数f(x)定义域为R,满足对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),则称f(x)为“V形函数”.

(1)当f(x)=x2时,判断f(x)是否为V形函数,并说明理由;

(2)当f(x)=lg(x2+2)时,证明:f(x)是V形函数;

(3)当f(x)=lg(2x+a)时,若f(x)为V形函数,求实数a的取值范围.

答案

(1)当f(x)=x2时,f(x1+x2)=x12+x22+2x1x2,f(x1)+f(x2)=x12+x22

当x1,x2同号时,f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),不满足V形函数的定义,

故当f(x)=x2时,f(x)不是V形函数;

(2)当f(x)=lg(x2+2)时f(x1+x2)=lg[(x1+x22+2]=lg(x12+x22+2x1x2+2),

f(x1)+f(x2)=lg(x12+2)+lg(x22+2)=lg[2(x12+x22)+x12x22+4]

∴满足对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),则f(x)=lg(x2+2)为“V形函数”.

(3)当f(x)=lg(2x+a)时,若f(x)为V形函数

则f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),

即lg(2x1+x2+a)≤lg(2x1+a)+lg(2x2+a)=lg[2x1+x2+a(2x1+x2)+a2]

∴a(2x1+x2)+a2-a≥0对任意x1,x2∈R恒成立

当a=0时,成立,当a<0时不成立,当a>0时,a≥(1-2x1+x2max

∴a≥1或a=0

阅读理解与欣赏

名句默写填空:(每句1分,共10分)

1.僮仆欢迎,稚子候门。(             ,        )。(陶渊明《归去来兮辞》)

2.(               ,                   )。善万物之得时,感吾生之行休。(陶渊明《归去来兮辞》)

3.(                    ,                  )。渔舟唱晚,响穷彭蠡之滨;雁阵惊寒,声断衡阳之浦。(王勃《滕王阁序》)

4.老当益壮,宁移白首之心?(               ,          )。(王勃《滕王阁序》)

5.鹏之徙于南冥也,水击三千里,(            ,            )。(庄周《逍遥游》)

6.(                  ,              ),定乎内外之分,辩乎荣辱之境,斯已矣。(庄周《逍遥游》)

7.外无期功强近之亲,内无应门五尺之僮,(       ,         )。(李密《陈情表》)

8.但以刘日薄西山(           ,           ,               )。(李密《陈情表》)

9.北海虽赊,扶摇可接;(                ,              )。(王勃《滕王阁序》)

10.云无心以出岫,鸟倦飞而知还。(               ,             )。(陶渊明《归去来兮辞》)

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