已知函数f（x）=ln（x+1），g(x)=
（1）求h（x）=f（x）-g（x）的单调区间； （2）求证：当-1＜x1＜0＜x2时，f（x1）g（x2）-f（x2）g（x1）＞0； （3）求证：f2（x）-xg（x）≤0恒成立． |
（1）h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-
，x＞-1，h/(x)=x x+1
-1 x+1
=1 (x+1)2
，x (x+1)2
令h/（x）＜0，得：-1＜x＜0，则h（x）在（-1，0）上单调递减；
令h/（x）＞0，得：x＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增．
故增区间为（0，+∞），减区间为（-1，0）．
（2）由（1）知h（x）min=h（0）=0，
则当x＞-1时f（x）≥g（x）恒成立．f/(x)=
＞0，g/(x)=1 x+1
＞0，1 (x+1)2
则f（x）、g（x）在（-1，+∞）上均单调递增．
易知：0＞f（x1）＞g（x1），f（x2）＞g（x2）＞0，
则-f（x2）g（x1）＞-f（x1）g（x2），
即：f（x1）g（x2）-f（x2）g（x1）＞0．
（3）f2(x)-xg(x)=ln2(x+1)-
，x2 x+1
令F(x)=ln2(x+1)-
，x2 x+1
则F/(x)=
-2ln(x+1) x+1
=x2+2x (x+1)2
，2(x+1)ln(x+1)-(x2+2x) (x+1)2
令G（x）=2（x+1）ln（x+1）-（x2+2x），
则G/（x）=2ln（x+1）-2x，
令H（x）=2ln（x+1）-2x，
则H/(x)=
-2=2 x+1
．-2x x+1
当-1＜x＜0时，H/（x）＞0，则H（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，H/（x）＜0，则H（x）在（0，+∞）上单调递减，
故H（x）≤H（0）=0，即G/（x）≤0，
则G（x）在（-1，+∞）上单调递减．
当-1＜x＜0时，G（x）＞G（0）=0，
即F/（x）＞0，则F（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，G（x）＜G（0）=0，
即F/（x）＜0，则F（x）在（0，+∞）上单调递减，
故F（x）≤F（0）=0，
即f2（x）-xg（x）≤0．
