设函数f（x）=logax（a＞0，a≠1），已知数列f（x1），f（x2），…

问题解答题

设函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），已知数列f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差为2的等差数列，且x₁=a²．
（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）当a=

时，求数列{x_n•f（x_n）}的前n项和S_n．

答案

（Ⅰ）由题意得，f(x1)=logaa2=2，且d=2，

∴f（x_n）=2+（n-1）•2=2n，即log_ax_n=2n，

∴xn=a2n，

（Ⅱ）当a=

时，xn•f(xn)=2n•(

)2n=n•2n+1，

Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1

2Sn=1•23+2•24+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2

，

两式相减得，

-Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2

22(1-2n)

1-2

-n•2n+2=(1-n)2n+2-4

，

∴Sn=(n-1)2n+2+4．