问题
解答题
已知函数f（x）=ax3+bx2-c（其中a，b，c均为常数，x∈R）．当x=1时，函数f（x）的极植为-3-c．
（1）试确定a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对于任意x＞0，不等式f（x）≥-2c2恒成立，求c的取值范围．
答案
（1）由f（x）=ax3+bx2-c，得f'（x）=3ax2+2bx，
当x=1时，f（x）的极值为-3-c，
∴
，得f′(1)=0 f(1)=-3-c
，∴3a+2b=0 a+b-c=-3-c
，a=6 b=-9
∴f（x）=6x3-9x2-c．
（2）∵f（x）=6x3-9x2-c，∴f′（x）=18x2-18x=18x（x-1），
令f′（x）=0，得x=0或x=1．
当x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是[0，1]．
（3）∵f（x）≥-2c2对任意x＞0恒成立，∴-6x3-9x2-c≥-2c2对任意x＞0恒成立，
∵当x=1时，f（x）min=-3-c，∴-3-c≥-2c2，得2c2-c-3≥0，
∴c≤-1或c≥
．3 2
∴c的取值范围是(-∞，-1]∪[
，+∞)．3 2