问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）若f（x）是奇函数，求常数a的值； （2）当f（x）为奇函数时，设f（x）的反函数为f-1（x），且函数y=g（x）的图象与y=f-1（x+1）的图象关于y=x对称，求y=g（x）的解析式并求其值域； （3）对于（2）中的函数y=g（x），不等式g2（x）+2g（x）+t•g（x）＞-2恒成立，求实数t的取值范围． |
答案
（1）∵f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，任取x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
则f(-x)=
=a•2-x+a2-2 2-x-1
=-(a2-2)2x+a 1-2x
（2分）a•2x+a2-2 2x-1
∴a2-2=a，解此方程可得：a=2或a=-1（3分）
又∵a＜0，∴a=-1（4分）
（2）由（1）知：a=-1，此时f(x)=-
，2x+1 2x-1
∴2x=
，∴f-1(x)=log2y-1 y+1
（6分）x-1 x+1
∴f-1(x+1)=log2
（x＞0或x＜-2）（7分）x x+2
此时
=2y可得：x=x x+2
，2y+1 1-2y
∴y=g(x)=
（9分）2x+1 1-2x
∴g（x）的值域为（-∞，-2）∪（0，+∞）（10分）
（3）原不等式化为t•g（x）＞-g2（x）-2g（x）-2
当g（x）＞0时，t＞-[g(x)+
]-2（11分）2 g(x)
此时-[g(x)+
]-2≤-22 g(x)
-2即t＞-22
-2（12分）2
当g（x）＜-2时，t＜-[g(x)+
]-2（13分）2 g(x)
∵g(x)+
在g（x）∈（-∞，-2）单调递增，2 g(x)
∴-[g(x)+
]-2＞3-2=1即t≤1（15分）2 g(x)
综上所述，实数t的取值范围为(-2
-2，1]（16分）2