（1）∵双曲线的焦点在y轴，∴设双曲线的标准方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1；

∵实轴长为8，离心率e=

2

，∴a=4，c=4

2

，∴b²=c²-a²=16．

或∵实轴长为8，离心率e=

2

，

∴双曲线为等轴双曲线，a=b=4．

∴双曲线的标准方程为

y2

16

-

x2

16

=1．

（2）设弦AB所在直线方程为y-2=k（x-4），A，B的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

∴k=

y1-y2

x1-x2

，

x1+x2

2

=4，

y1+y2

2

=2；

∴

y12 16 - x12 16 =1   y22 16 - x22 16 =1

⇒

y12-y22

16

-

x12-x22

16

=0⇒

(y1-y2)(y1+y2)

16

-

(x1-x2)(x1+x2)

16

=0

代入x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，

得

(y1-y2)×4

16

-

(x1-x2)×8

16

=0，

∴

y1-y2

x1-x2

×

1

4

-

1

2

=0，

∴

1

4

k-

1

2

=0，

∴k=2；

所以弦AB所在直线方程为y-2=2（x-4），即2x-y-6=0．

（3）等轴双曲线

y2

16

-

x2

16

=1的渐近线方程为y=±x．

∴直线AB与渐近线所围成三角形为直角三角形．

又渐近线与弦AB所在直线的交点坐标分别为（6，6），（2，-2），

∴直角三角形两条直角边的长度分别为6

2

、2

2

；

∴直线AB与渐近线所围成三角形的面积S=

1

2

×6

2

×2

2

=12．