问题
解答题
| 已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x0称为函数f（x）的不动点；若a1∈D，an+1=f（an）（n∈N*），则称{an} 为由函数f（x）导出的数列． 设函数g（x）=
（1）求函数g（x）的不动点x1，x2； （2）设a1=3，{an} 是由函数g（x）导出的数列，对（1）中的两个不动点x1，x2（不妨设x1＜x2），数列求证{
（3）试探究由函数h（x）导出的数列{bn}，（其中b1=p）为周期数列的充要条件． 注：已知数列{bn}，若存在正整数T，对一切n∈N*都有bn+T=bn，则称数列{bn} 为周期数列，T是它的一个周期． |
答案
（1）
=x，即x2-x-2=0，得x1=-1，x2=2，4x+2 x+3
所以函数g（x）的不动点为x1=-1，x2=2．
（2）：a1=3，an+1=g（an）=
，设cn=4an+2 an+3
，an+1 an-2
则cn+1=
=an+1+1 an+1-2
=5an+5 2an-4 5 2
=an+1 an-2
cn，c1=5 2
=4．a1+1 a1-2
所以数列{
}是等比数列，公比为an+1 an-2
，首项为4．5 2
=4•(an+1 an-2
)n-1得an=5 2
．8•5n-1+2n-1 4•5n-1-2n-1
an=lim n→∞ lim n→∞
=8•5n-1+2n-1 4•5n-1-2n-1 lim n→∞
=2．8+(
)n-12 5 4-(
)n-12 5
（3）：h（x）=
=x，即cx2+（d-a）x-b=0．ax+b cx+d
因为△=（d-a）2+4ac＞0，所以该方程有两个不相等的实数根x1，x2．
b1=p，bn+1=h（bn）=
，abn+b cbn+d
=bn+1-x1 bn+1-x2
=
-abn+b cbn+d ax1+b cx1+d
-abn+b cbn+d ax2+b cx2+d
•cx2+d cx1+d
，bn-x1 bn-x2
则{
}是等比数列，首项为bn-x1 bn-x2
，公比为p-x1 p-x2
．cx2+d cx1+d
因为
=bn-x1 bn-x2
（p-x1 p-x2
）n-1，所以cx2+d cx1+d
=bn+T-x1 bn+T-x2
（p-x1 p-x2
）n+T-1．cx2+d cx1+d
数列{bn}为周期数列的充要条件是（
）n-1=（cx2+d cx1+d
）n+T-1，即（cx2+d cx1+d
）T=1．cx2+d cx1+d
故|
|=1，但x1≠x2，从而cx2+d=-cx1-d．x1+x2=-cx2+d cx1+d
=-2d c
，d-a c
故d=-a．