问题
填空题
双曲线
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答案
设∠PF1F2=α，
∵∠PF2F1=3∠PF1F2，P在双曲线右支（x＞a）
在三角形PF1F2中，根据正弦定理，可得
=PF1 sin3α
，PF2 sinα
即
=PF1 3sinα-4sin3α PF2 sinα
∴PF1=（3-4sin2α）PF2，
∵PF1-PF2=2a，∴（3-4sin2α）PF2-PF2=2a，
∴PF2=
，a 1-2sin2α
由于P在P在双曲线右支，∴PF2＞c-a，
∵
＞c-a，∴a 1-2sin2α
＜1+c a
≤2，1 1-2sin2α
∴
＜2，又c a
＞1，c a
则双曲线离心率e的取值范围是 1＜e＜2．
故答案为：1＜e＜2．