问题
解答题
| 数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），其中a4=365， （Ⅰ）求a1，a2，a3； （Ⅱ）若存在一个实数λ，使得{
（Ⅲ）求数列{an}的前n项之和． |
答案
（Ⅰ）由an=3an-1+3n-1，及a4=365知a4=3a3+34-1=365，则a3=95
同理求得a2=23，a1=5
（Ⅱ）∵{
}为一个等差数列，于是设an+λ 3n
=xn+yan+λ 3n
∴an=（xn+y）•3n-λ，又由a1=5，a2=23，a3=95
知5=a1=(x+y)•3-λ 23=a2=(2x+y)•9-λ 95=a3=(3x+y)•27-λ &求得λ=-
，x=1，y=1 2 1 2
∴an=(n+
)•3n+1 2
，而an=(n+1 2
)•3n+1 2
满足递推式1 2
因此λ=-
．1 2
（Ⅲ）∵an=(n+
)•3n+1 2
先求bn=(n+1 2
)•3n的前n项和1 2
记Tn=(1+
)•3n+(2+1 2
)•32+…+(n+1 2
)•3n1 2
则3Tn=(1+
)•32+(2+1 2
)•33+…+(n+1 2
)•3n+11 2
由上两式相减
Tn-3Tn=(1+
)3+32+33+…+3n-(n+1 2
)•3n+11 2
-2Tn=
+9 2
-(n+32-3n+1 1-3
)•3n+1=1 2
+9 2
(3n+1-9)-(n+1 2
)•3n+11 2
=-n•3n+1
Tn=
n•3n+11 2
因此{an}•前n项和为Tn+
=n 2
•3n+1+n 2
=n 2
(3n+1+1)．n 2