（1）函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．

证明：∵函数定义域为（-1，1），

令x=y=0得f（0）=0，

令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），

所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．

（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，

则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（

x2-x1

1-x2x1

），而x₂-x₁＞0，|x₁||x₂|＜1

∴1-x₁x₂＞0

∴

x2-x1

1-x2x1

＞0，又x＞0时，f（x）＞0，

∴f（

x2-x1

1-x2x1

）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），

∴f（x）在区间（-1，1）上是增函数；

（3）∵f（

1

2

）=

1

2

，f（

x+y

1+xy

）=f（x）+f（y），

∴令x=y=

1

2

得：f（

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

）=2f（

1

2

）=1，即f（

4

5

）=1．

因为函数f（x）在（-1，1）上是增函数，故在[-

4

5

，

4

5

]上是增函数，

又f（

4

5

）=1，

f（x）＜m²-2am+1，对所有x∈[-

4

5

，

4

5

]，a∈[-1，1]恒成立⇔1＜m²-2am+1，对所有x∈[-

4

5

，

4

5

]，a∈[-1，1]恒成立，

即m²-2am＞0，a∈[-1，1]恒成立．

记g（a）=m²-2am，对所有的a∈[-1，1]，g（a）＞0成立，

只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于0．即g（-1）＞0；g（1）＞0．

解得：m＜-2或m=0，或m＞2．

故m的取值范围为m＜-2，或m=0，或m＞2．