已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2

问题解答题

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*）．

（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）证明：由已知：（s_n+1-s_n）-（s_n-s_n-1）=1 （n≥2，n∈N^*），

即a_n+1-a_n=1 （n≥2，n∈N^*）且a₂-a₁=1．

∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列．

∴a_n=n+1．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=（n+1）•2ⁿ，它的前n项和为T_n

T_n=2•2¹+3•2²+4•2³++n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ（1）

2T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴++n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹（2）

（1）-（2）：

-T_n=2•2¹+2²+2³+2⁴++2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹

=4+

22(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1

=-n•2ⁿ⁺¹

∴T_n=n•2ⁿ⁺¹（13分）