在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．（Ⅰ）设bn=an2n-1．

问题解答题

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）设b_n=

2n-1

．证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

答案

由a_n+1=2a_n+2ⁿ．两边同除以2ⁿ得

an+1

2n-1

∴

an+1

2n-1

=1，即b_n+1-b_n=1

∴{b_n}以1为首项，1为公差的等差数列

（2）由（1）得

2n-1

=1+(n-1)×1=n

∴a_n=n•2^n-1

S_n=2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1

2S_n=2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ

∴-S_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ

1-2n

1-2

- n•2n=(1-n)•2n-1

∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1