（1）由已知得x＞0且f′(x)=2x-(-1)k•

2a

x

．

当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；      

当k是偶数时，则f′(x)=2x-

2a

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

，

所以当x∈(0，

a

)时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．

故当k是偶数时，f （x）在(0，

a

)上是减函数，在(

a

，+∞)上是增函数．

（2）若k=2012，则f（x）=x²-2alnx（k∈N^*）．

记g （x）=f （x）-2ax=x ²-2a xlnx-2ax，g′(x)=2x-

2a

x

-2a=

2

x

(x2-ax-a)，

若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；     

令g′（x）=0，得x²-ax-a=0．因为a＞0，x＞0，

所以x 1=

a- a2+4a

2

＜0（舍去），x 2=

a+ a2+4a

2

．

当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是单调递减函数；

当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是单调递增函数．

当x=x₂时，g′（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）．

因为g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．

则

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax 2-a=0

两式相减得alnx₂+ax₂-a=0，因为a＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）．

设函数h（x）=2lnx+x-1，

因为在x＞0时，h （x）是增函数，所以h （x）=0至多有一解．

因为h （1）=0，所以方程（*）的解为x ₂=1，从而解得a=

1

2

（3）当k=2011时，问题等价于证明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，

由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时取到，

设m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，则m′(x)=

1-x

ex

，

易得m(x)max=m(1)=-

1

e

，当且仅当x=1时取到，

从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．故命题成立．