已知函数f(x)=x2-2acoskπ•lnx(k∈N*,a∈R且a>0). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若k=2012,关于x的方程f(x)=2ax有唯一解,求a的值; (3)当k=2011时,证明:对一切x∈(0,+∞),都有
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(1)由已知得x>0且f′(x)=2x-(-1)k•
.2a x
当k是奇数时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当k是偶数时,则f′(x)=2x-
=2a x
,2(x+
)(x-a
)a x
所以当x∈(0,
)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.a
故当k是偶数时,f (x)在(0,
)上是减函数,在(a
,+∞)上是增函数.a
(2)若k=2012,则f(x)=x2-2alnx(k∈N*).
记g (x)=f (x)-2ax=x 2-2a xlnx-2ax,g′(x)=2x-
-2a=2a x
(x2-ax-a),2 x
若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;
令g′(x)=0,得x2-ax-a=0.因为a>0,x>0,
所以x 1=
<0(舍去),x 2=a- a2+4a 2
.a+ a2+4a 2
当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)是单调递减函数;
当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是单调递增函数.
当x=x2时,g′(x2)=0,g(x)min=g(x2).
因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0.
则
即g(x2)=0 g′(x2)=0 x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax 2-a=0
两式相减得alnx2+ax2-a=0,因为a>0,所以2lnx2+x2-1=0(*).
设函数h(x)=2lnx+x-1,
因为在x>0时,h (x)是增函数,所以h (x)=0至多有一解.
因为h (1)=0,所以方程(*)的解为x 2=1,从而解得a=1 2
(3)当k=2011时,问题等价于证明xlnx>
-x ex
(x∈(0,+∞)),2 e
由导数可求φ(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-
,当且仅当x=1 e
时取到,1 e
设m(x)=
-x ex
(x∈(0,+∞)),则m′(x)=2 e
,1-x ex
易得m(x)max=m(1)=-
,当且仅当x=1时取到,1 e
从而对一切x∈(0,+∞),都有lnx>
-1 ex
成立.故命题成立.2 ex