问题 解答题
已知函数f(x)=x2-2acoskπ•lnx(k∈N*,a∈R且a>0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若k=2012,关于x的方程f(x)=2ax有唯一解,求a的值;
(3)当k=2011时,证明:对一切x∈(0,+∞),都有
f(x)-x2
2a
1
ex
-
2
ex
成立.
答案

(1)由已知得x>0且f′(x)=2x-(-1)k

2a
x

当k是奇数时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;      

当k是偶数时,则f′(x)=2x-

2a
x
=
2(x+
a
)(x-
a
)
x

所以当x∈(0,

a
)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.

故当k是偶数时,f (x)在(0,

a
)上是减函数,在(
a
,+∞)
上是增函数.

(2)若k=2012,则f(x)=x2-2alnx(k∈N*).

记g (x)=f (x)-2ax=x 2-2a xlnx-2ax,g′(x)=2x-

2a
x
-2a=
2
x
(x2-ax-a),

若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;     

令g′(x)=0,得x2-ax-a=0.因为a>0,x>0,

所以x 1=

a-
a2+4a
2
<0(舍去),x 2=
a+
a2+4a
2

当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)是单调递减函数;

当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是单调递增函数.

当x=x2时,g′(x2)=0,g(x)min=g(x2).

因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0.

g(x2)=0
g′(x2)=0
x22-2alnx2-2ax2=0
x22-ax 2-a=0

两式相减得alnx2+ax2-a=0,因为a>0,所以2lnx2+x2-1=0(*).

设函数h(x)=2lnx+x-1,

因为在x>0时,h (x)是增函数,所以h (x)=0至多有一解.

因为h (1)=0,所以方程(*)的解为x 2=1,从而解得a=

1
2

(3)当k=2011时,问题等价于证明xlnx>

x
ex
-
2
e
(x∈(0,+∞)),

由导数可求φ(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-

1
e
,当且仅当x=
1
e
时取到,

m(x)=

x
ex
-
2
e
(x∈(0,+∞)),则m′(x)=
1-x
ex

易得m(x)max=m(1)=-

1
e
,当且仅当x=1时取到,

从而对一切x∈(0,+∞),都有lnx>

1
ex
-
2
ex
成立.故命题成立.

单项选择题
单项选择题