各项均为正数的等比数列{an}，a1=1，a2a4=16，单调增数列{bn}的前

问题解答题

各项均为正数的等比数列{a_n}，a₁=1，a₂a₄=16，单调增数列{b_n}的前n项和为S_n，a₄=b₃，且6S_n=b_n²+3b_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=

（n∈N^*），求使得c_n＞1的所有n的值，并说明理由．
（Ⅲ）证明{a_n}中任意三项不可能构成等差数列．

答案

（Ⅰ）∵a₂a₄=a₁²q⁴=q⁴=16，q²=4，∵a_n＞0，∴q=2，∴a_n=2^n-1

∴b₃=a₄=8．∵6S_n=b_n²+3b_n+2　①

当n≥2时，6S_n-1=b_n-1²+3b_n-1+2 ②

①-②得6b_n=b_n²-b_n-1²+3b_n-3b_n-1即（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1）=3（b_n+b_n-1）

∵b_n＞0∴b_n-b_n-1=3，∴{b_n}是公差为3的等差数列．

当n=1时，6b₁=b₁²+3b₁+2，解得b₁=1或b₁=2，

当b₁=1时，b_n=3n-2，此时b₃=7，与b₃=8矛盾；当b₁=3时b_n=3n-1，此时此时b₃=8=a₄，∴b_n=3n-1．

（Ⅱ）∵b_n=3n-1，∴cn=

3n-1

2n-1

，∴c₁=2＞1，c₂=

＞1，c₃=2＞1，c4=

＞1，c5=

＜1，

下面证明当n≥5时，c_n＜1

事实上，当n≥5时，cn+1-cn=

3n+2

3n-1

2n-1

4-3n

＜0

即c_n+1＜c_n，∵c5=

＜1∴当n≥5时，C_n＜1，

故满足条件C_n＞1的所有n的值为1，2，3，4．

（Ⅲ）假设{a_n}中存在三项p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使a_p，a_q，a_r构成等差数列，

∴2a_q=a_p+a_r，即2•2^q-1=2^p-1+2^r-1．∴2^q-p+1=1+2^r-p．

因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．

∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．