问题
填空题
| 已知数列{an}（n∈N*），其前n项和为Sn，给出下列四个命题： ①若{an}是等差数列，则三点(10，
②若{an}是等差数列，且a1=-11，a3+a7=-6，则S1、S2、…、Sn这n个数中必然存在一个最大者； ③若{an}是等比数列，则Sm、S2m-Sm、S3m-S2m（m∈N*）也是等比数列； ④若Sn+1=a1+qSn（其中常数a1q≠0），则{an}是等比数列． 其中正确命题的序号是______．（将你认为的正确命题的序号都填上） |
答案
①因为
=S10 10
=a1+10a1+
d10×9 2 10
d，同理9 2
=a1+S100 100
d，99 2
=a1+S110 110
d，109 2
则
=
-S100 100 S10 10 100-10
=(a1+
d)-(a1+99 2
d) 9 2 90
=d 2
=
-S110 110 S100 100 110-100
=(a1+
d)-(a1+109 2
d) 99 2 10
，d 2
所以三点(10，
)，(100，S10 10
)，(110，S100 100
)共线．此选项正确；S110 110
②若{an}是等差数列，且a1=-11，a3+a7=-6，所以a1+2d+a1+6d=-6，解得d=2，所以数列是递增数列，则S1、S2、…、Sn这n个数中不存在一个最大者；②不正确；
③若{an}是等比数列，则Sm=
；a1(1-qm) 1-q
S2m-Sm=
-a1(1-q2m) 1-q
=a1(1-qm) 1-q
；a1(qm-q2m) 1-q
S3m-S2m=
-a1(1-q3m) 1-q
=a1(1-q2m) 1-q
；a1(q2m-q3m) 1-q
因为[
]2=a1(qm-q2m) 1-q
•a1(1-qm) 1-q
，a1(q2m-q3m) 1-q
所以Sm、S2m-Sm、S3m-S2m（m∈N*）也是等比数列，
当公比q=-1，且m为偶数时，该命题错误．
④若Sn+1=a1+qSn（其中常数a1q≠0），如果数列是等比数列，设公比为q，则Sn+an+1=a1+qSn∴Sn（1-q）=a1-an+1=a1（1-qn），显然数列{an}是等比数列．正确．
故答案为：①④．
