问题
解答题
| 已知函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与两坐标轴的交点处的切线相互平行． （1）求实数a的值； （2）若关于x的不等式
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答案
（1）f′(x)=aex，g′(x)=
．1 x
y=f（x）的图象与坐标轴交于点（0，a）；y=g（x）的图象与坐标轴交于点（a，0），
∴f′（0）=g′（a）．
∴a=
．1 a
∵a＞0，∴a=1
∴g（x）=lnx．
（2）①当x＞1时，由
＞x-m lnx
得m＜x-x
lnx恒成立．x
令φ(x)=x-
lnx，则φ′(x)=x
．2
-2-lnxx 2 x
令h(x)=2
-2-lnx，则h′(x)=x
(1-1 x
)＞0，1 x
∴h（x）在[1，+∞）上递增．
∴∀x＞1，h（x）＞h（1）=0．
∴φ′（x）＞0．
∴φ（x）在[1，+∞）上递增．
∴m≤φ（1）=1．
②当0＜x＜1时，由
＞x-m lnx
得m＞x-x
lnx即m＞φ（x）恒成立．x
同①可得φ（x）在（0，1]上递增．
∴m≥φ（1）=1．
综合①②得m=1．