问题
解答题
已知数列{an}是首项为a且公比q≠1的等比数列，Sn是其前n的和，a1，2a7，3a4成等差数列．
（1）求q3的值；
（2）证明：12S3，S6，S12-S6成等比数列．
答案
（1）∵a1，2a7，3a4成等差数列，
∴4a7=a1+3a4，又数列{an}是首项为a且公比q≠1的等比数列，
∴4aq6=a+3aq3，
整理得：4（q3）2-3q3-1=0，即（4q3+1）（q3-1）=0，
解得：q3=-
或q3=1（舍去），1 4
则q3=-
；1 4
（2）∵q3=-
，1 4
∴
=S6 12S3
=a1(1-q6) 1-q 12a1(1-q3) 1-q
=1+q3 12
，1 16
而
=S12-S6 S6
-1=S12 S6
-1a1(1-q12) 1-q a1(1-q6) 1-q
=1+q6-1=q6=
=1 16
，S6 12S3
∴S62=12S3•（S12-S6），
则12S3，S6，S12-S6成等比数列．