（I）因为S_n=λa_n-1，

所以a₁=λa₁-1，a₂+a₁=λa₂-1，a₃+a₂+a₁=λa₃-1，

由a₁=λa₁-1可知λ≠1，

所以a₁=

1

λ-1

，a₂=

λ

(λ-1)2

，a₃=

λ2

(λ-1)3

，

因为a₃=a₂²，

所以

λ2

(λ-1)4

=

λ2

(λ-1)3

，

所以λ=0或λ=2．

（II）假设存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列，则2a₂=a₁+a₃，

由（I）可知，

2 λ

(λ-1)2

=

1

λ-1

+

λ2

(λ-1)3

，

所以

2 λ

(λ-1)2

=

2λ2-2λ+1

(λ-1)3

，即1=0，矛盾，

所以不存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列．

（III）当λ=2时，S_n=2a_n-1，

所以S_n-1=2a_n-1-1，且a₁=1，

所以a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1  （n≥2）．

所以a_n≠0（n∈N^*），且

an

an-1

=2（n≥2）．

所以数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以a_n=2a^n-1（n∈N^*），

因为b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b₁=

3

2

，

所以b_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+a_n-2+b_n-2=…=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁

=

2n+1

2

  n≥ 2．

当n=1时上式也成立．

所以b_n=

2n+1

2

    n∈N*．

因为cn=

an

(an+1)bn

，

所以cn=

2n-1

(2n-1+1)  2n+1 2

=

2•2n-1

(2n-1+1) (2n+)

因为

2n-1

(2n-1+1) (2n+)

=

1

2n-1+1

-

1

2n+1

，

所以T_n=C₁+C₂+…+C_n

=2(

1

2

-

1

2+1

+

1

2+1

-

1

22+1

+…+

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)

=1-

2

2n+1

=

2n-1

2n+1

．