问题 解答题

设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.

(1)、当f(x)奇函数时求a的值

(2)、当a=1时,求曲线y=f(x)过点(0,f(0))的切线方程;(4分)

(3)、当a≠0时,求函数f(x)的极大值和极小值;(6分)

答案

(1)∵f(x)为奇函数

∴f(-x)=-f(x),

∴x(-x-a)2=x(x-a)2

∵x∈R

∴(-x-a)2=(x-a)2恒成立

∴a=0

(2)当a=1时,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,得f(0)=0,且f'(x)=-3x2+4x-1,

设切点(x0,-x0(x0-1)2

所以,切线方程y+x0(x0-1)2=(-3x02+4x0-1)(x-x0

因为(0,0)在曲线上代入求得x0=0,

1
2
,1

所以所求的切线方程为:y=-x;y=0;y=

1
4
x.

(3)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x

f'(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a).

令f'(x)=0,解得x=

a
3
或x=a.

由于a≠0,以下分两种情况讨论.

(1)若a>0,当x变化时,f'(x)的正负如下表:

x(-∞,
a
3
)
a
3
(
a
3
,a)
a(a,+∞)
f'(x)-0+0-
因此,函数f(x)在x=
a
3
处取得极小值f(
a
3
)
,且f(
a
3
)=-
4
27
a3

函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.

(2)若a<0,当x变化时,f'(x)的正负如下表:

x(-∞,a)a(a,
a
3
)
a
3
(
a
3
,+∞)
f'(x)-0+0-
因此,函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0;

函数f(x)在x=

a
3
处取得极大值f(
a
3
)
,且f(
a
3
)=-
4
27
a3

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