问题
解答题
| 已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），且a4=81 （1）求数列的前三项a1、a2、a3的值； （2）是否存在一个实数λ，使得数列{
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答案
（1）由an=2an-1+2n-1（n≥2）⇒a4=2a3+24-1=81⇒a3=33
同理可得a2=13，a1=5（3分）
（2）假设存在一个实数λ符合题意，则
-an+λ 2n
必为与n无关的常数an-1+λ 2n-1
∵
-an+λ 2n
=an-1+λ 2n-1
=an-2an-1-λ 2n
=1-2n-1-λ 2n
（5分）1+λ 2n
要使
-an+λ 2n
是与n无关的常数，则an-1+λ 2n-1
=0，得λ=-11+λ 2n
故存在一个实数λ=-1，使得数列{
}为等差数列（8分）an+λ 2n
由（2）知数列{
}的公差d=1，∴an+λ 2n
=an-1 2n
+(n-1)•1=n+1a1-1 21
得an=（n+1）•2n+1（13分）