问题 解答题
已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n∈N*,n≥2),且a4=81
(1)求数列的前三项a1、a2、a3的值;
(2)是否存在一个实数λ,使得数列{
an
2n
}
为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由;求数列an通项公式.
答案

(1)由an=2an-1+2n-1(n≥2)⇒a4=2a3+24-1=81⇒a3=33

同理可得a2=13,a1=5(3分)

(2)假设存在一个实数λ符合题意,则

an
2n
-
an-1
2n-1
必为与n无关的常数

an
2n
-
an-1
2n-1
=
an-2an-1
2n
=
2n-1-λ
2n
=1-
1+λ
2n
(5分)

要使

an
2n
-
an-1
2n-1
是与n无关的常数,则
1+λ
2n
=0
,得λ=-1

故存在一个实数λ=-1,使得数列{

an
2n
}为等差数列(8分)

由(2)知数列{

an
2n
}的公差d=1,∴
an-1
2n
=
a1-1
21
+(n-1)•1=n+1

得an=(n+1)•2n+1(13分)

问答题

铬(Cr )是一种重要的金属材料,它具有良好的光泽度和抗腐蚀性,常用来镀在其他金属的表面,铬同铁、镍组成的合金可以制成各种性能的不锈钢.某校化学小组对Cr、Al、Cu 的金属活动性顺序进行探究,过程如下:

作出假设:对三种金属的活动性顺序提出可能的假设

(1)Al>Cr>Cu;(2)Al>Cu>Cr

你觉得还有其他的可能性吗?请把它们写出来(有几种写几种,错答、多答扣分)

假设:(3)______(4)______…

查阅资料:该小组同学查阅了部分含铬化合物的溶解性如下表:

OH-NO3-SO42-Cl-CO32-
Cr3+-
(“-”表示该物质不存在或遇水就分解)且得知铬能与酸反应.

设计实验:同温下,取大小相同的这三种金属薄片,分别投入等体积等浓度的足量稀盐酸中,观察现象.

控制实验条件:三种金属投入稀盐酸前都先用砂纸将其表面擦光亮,其目的是______.

A、除去氧化膜,利于直接反应 B、使表面光亮,利于观察现象  C、使金属温度相同,易反应.

记录现象:

金属CrAlCu
与盐酸反应的现象气体产生缓慢

金属逐渐溶解

气泡产生激烈

金属迅速溶解

得出结论:原假设中正确的是______(填序号).写出铬与盐酸反应的化学方程式______

结论应用:(1)根据探究结果,请你预测铬与硫酸铜溶液______(填“能”或“不能”)反应,理由是______.

(2)除该小组的实验设计外,你能否设计一组实验,一次性验证上述假设的正确性,你的设计所用到的一组物质的化学式是______(只写出一组既可)

单项选择题