问题
问答题
设矩阵A是n阶可逆方阵，将A的第j列和第k列对换得矩阵B；将B的第j行和第k行对换得矩阵V．
试用初等矩阵证明C是可逆矩阵；
答案
参考答案：记Eij为将单位矩阵的第j列和第k列对换得到的初等矩阵，显然Eij也可以视为将单位矩阵的第j行和第k行对换得到的初等矩阵．因为将A的第j列和第k列对换得到的矩阵B可以表示为
B=AEjk；
而将B的第j行和第k行对换得到的矩阵V可以表示为 C=EjkB，
因此，有 C=EjkAEjk
因为A是可逆方阵，所以|A|≠0；此外，|Ejk|=-|E|=-1≠0．
由C=EjkAEjk，可知 |C|=|EjkAEjk|=|Ejk||A||Ejk|=|A|≠0．
于是C是可逆矩阵．