（I）由题意可设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）

∵点Q(2，

3

3

)，且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F₁

∴双曲线C的一个焦点为F₁（2，0）可得C的另一个焦点为F₂（-2，0）（1分）

由2a=||QF₁|-|QF₂||=|

(2+2)2+( 3 3 -0) 2

-

(2-2)2+( 3 3 -0)2

|=2

3

（3分）

∴a=

3

，又c=2，所以b²=c²-a²=1（4分）

双曲线的方程为

x2

3

-y2=1

（II）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y²=4x的焦点F₁（1，0）作与x轴不垂直的任意直线L交抛物线于点A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|MF1|

为定值，定值是2（6分）

证明如下：由于直线与x轴不垂直，可设直线L的方程为y=k（x-1）（k≠0）

联立方程

y2=4x y=k(x-1)

可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0

由题意L与C有两个交点A，B，则k²≠0，△＞0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

则x1+x2=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

∴线段AB的中点P的坐标(

k2+2

k2

，

2

k

)（8分）

AB的垂直平分线MP的方程为y-

2

k

=-

1

k

(x-

k2+2

k2

)

令y=0可得，x=3+

2

k2

即M（3+

2

k2

，0），F₁（1，0）

∴|MF₁|=2+

2

k2

（9分）

∵|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 4(k2+2)2 k4 -4]

=

4

k2

 +4

∴

|AB|

|MF1|

=2（10分）

（III）过圆锥曲线E的焦点F作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线L交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M，则

|AB|

|MF|

为定值，定值是

2

e

（其中e 是圆锥曲线E的离心率）（13分）

（法二）由题意可设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）（1分）

由已知可得

4 a2 - 1 3 b2 =1 a2+b2=1

（3分）

解可得，

a2=3 b2=1

∴双曲线的方程为

x2

3

-y2=1（4分）

（II ），（III）同法一