已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），
（1）若a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜-2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求a的取值范围．
（1）a=-2，f（x）=-2lnx+x2，
∴f′(x)=-
+2x=2 x
，2(x2-1) x
令f'（x）＞0，由x＞0得x＞1，
∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．（2分）
（2）f′(x)=
+2x=a x
，2(x2+
)a 2 x
令f'（x）=0，由a＜-2，x＞0得x=
＞1（3分）- a 2
①当
＜e，即-2e2＜a＜-2时，f（x）在[1，- a 2
]递减，在[- a 2
，e]递增，- a 2
∴当x=
时，f(x)min=aln- a 2
-- a 2
．（5分）a 2
②当
≥e，即a≤-2e2时，f（x）在[1，e]递减，- a 2
∴当x=e时，f（x）min=a+e2．（7分）
（3）f（x）≤（a+2）x化为：alnx+x2-（a+2）x≤0，
设g（x）=alnx+x2-（a+2）x，据题意，
当x∈[1，e]时，g（x）min≤0，g′(x)=
+2x-(a+2)=a x
=(2x-a)(x-1) x
，（9分）2(x-
)(x-1)a 2 x
（ⅰ）当
≤1即a≤2时，当x∈[1，e]时，g'（x）≥0，∴g（x）递增，a 2
∴g（x）min=g（1）=-1-a≤0，∴a≥-1，
∴-1≤a≤2；（11分）
（ⅱ）当1＜
＜e即2＜a＜2e时，g（x）在[1，a 2
]递减，[a 2
，e]递增，a 2
∴g(x)min=g(
)=a(lna 2
-a 2
-1)，a 4
∵ln
＜1，∴g（x）min＜0，a 2
∴2＜a＜2e符合题意；（13分）
（ⅲ）当
≥e即a≥2e时，g（x）在[1，e]递减，a 2
∴g（x）min=g（e）=a+e2-（a+2）e=（1-e）a+e2-2e≤2e（1-e）+e2-2e=-e2＜0，符合题意，（15分）
综上可得，a的取值范围是[-1，+∞）．（16分）