已知an是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和。当Sm

问题问答题

已知a_n是以a为首项，q为公比的等比数列，S_n为它的前n项和。

当S_m、S_n、S_l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a_m+k、a_n+k、a_l+k也成等差数列。

答案

参考答案：

若q=1，则{a_n}的每项a_n=a，此时a_m+k、a_n+k、a_l+k显然成等差数列。

若q≠1，由S_m、S_n、S_l成等差数列可得S_m+S_l=2S_n，即

整理得q^m+q^l=2qⁿ，因此，a_m+k+a_l+k=aq^k-1(q^m+q^l)=2aq^n+k-1=2a_n+k。

所以，a_m+k、a_n+k、a_l+k也成等差数列。