问题
解答题
双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知|
（Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． |
答案
（1）设双曲线方程为
-x2 a2
=1，c2=a2+b2由y2 b2
，BF
同向，FA
∴渐近线的倾斜角为（0，
），π 4
∴渐近线斜率为：k1=
＜1∴b a
=b2 a2
=e2-1＜1，∴1＜e2＜2c2-a2 a2
∴|AB|2=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2(|OB|-|OA|)∴|OB|-|OA|=
|AB1 2 |OA|+|OB|=2|AB
∴|OA|=
|AB|∴|OA|2=3 4
|AB|29 16
可得：
=|AB| |OA|
，而在直角三角形OAB中，4 3
注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=4 3
而由对称性可知：OA的斜率为k=tan
∠AOB1 2
∴
=2k 1-k2
，∴2k2+3k-2=0，∴k=4 3
(k=-2舍去)；1 2
∴
=b a
∴1 2
=b2 a2
=c2-a2 a2
，∴e2=1 4 5 4
∴e=5 2
（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为
-x2 4b2
=1，c=y2 b2
b，5
∴AB的直线方程为 y=-2（x-
b），代入双曲线方程得：15x2-325
bx+84b2=0，5
∴x1+x2=
，x1•x2=32
b5 15
，84b2 15
4=
，16=(1+4)[(
)2 - 4 •32
b5 15 84b2 15
-32b2 9
，4×84b2 3
∴b2=9，所求双曲线方程为：
-x2 36
=1．y2 9