问题
解答题
| 设数列{bn}的n项和为Sn，且bn=1-2Sn；数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，． （1）求数列{bn}的通项公式； （2）若cn=an•bn，n=1，2，3，…，Tn为数列{cn}的前n项和．求证：Tn＜
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答案
（1）由bn=1-2Sn，令n=1，则b1=1-2S1，又S1=b1
所以b1=
…（2分）1 3
当n≥2时，由bn=2-2Sn，可得bn-bn-1=-2（Sn-Sn-1）=-2bn
即
=bn bn-1
…（4分）1 3
所以{bn}是以b1=
为首项，1 3
为公比的等比数列，1 3
于是bn=
…（6分）1 3n
（2）数列{an}为等差数列，公差d=
（a7-a5）=3，可得an=3n-1…（7分）1 2
从而cn=an•bn=（3n-1）•
，1 3n
∴Tn=2•
+5•1 3
+8•1 32
+…+（3n-1）•1 33
，1 3n
Tn=2•1 3
+5•1 32
+…+（3n-4）•1 33
+（3n-1）•1 3n 1 3n+1
∴
Tn=2•2 3
+3•+3•1 3
+…+3•1 32
-1 3n
-（3n-1）•1 3
=1 3n+1
-7 6
…（11分）6n+7 2•3n+1
∴Tn=
-7 4
＜6n+7 4•3n
．…（12分）7 4